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资料概述与简介

                    g3.1073立体几何综合问题2
2005全国高皇冠游戏中心官方网站立体几何题
河北、河南、山西、安徽(全国卷I)
(2)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为   (C)
(A)			(B)			(C)			(D)
(4)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为                              (C)
   (A)				(B)
   (C)					(D)
(16)在正方形中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则
1. 四边形一定是平行四边形
2. 四边形有可能是正方形
3. 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
4. 四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为  ①③④   。(写出所有正确结论的编号)
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试理科数皇冠游戏中心官方网站(福建卷)
4.已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:
 ①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
   其中真命题的个数是(C)
    A.0      B.1      C.2        D.3
8.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,
   AD=1,E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,
   则异面直线A1E与GF所成的角是(D)
   	A.arccos  B. C.arccos   D.
20.(本小题满分12分)
   如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的
   正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
   (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;
   (Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;
   (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离。
20、(Ⅰ)略; (Ⅱ);(Ⅲ)。
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试理科数皇冠游戏中心官方网站(必修+选修Ⅱ)
4.设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B—APQC的体积为			( C )
   A.       	B.  	C.     	D.
11.不共面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面共有	( D )
	A.3个   	B.4个    	C.6个 	D.7个
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试(北京卷)数皇冠游戏中心官方网站(理工农医类)
(6)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是(C)
    (A)BC//平面PDF           (B)DF⊥平面PA E
    (C)平面PDF⊥平面ABC    (D)平面PAE⊥平面 ABC
(16)(本小题共14分)
    如图, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=,AD⊥DC,AC⊥BD, 垂足为E,
  (I)求证:BD⊥A1C;
  (II)求二面角A 1-BD-C 1的大小;
  (III)求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小.
  (16)(共14分)
  (I)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中,
    ∵AA1⊥底面ABCD.∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影.
   ∵BD⊥AC.∴ BD⊥A1C;
  (II)连结A1E,C1E,A1 C1.
   与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,
   ∴ ∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.  ∵  AD⊥DC,∴ ∠A1D1C1=∠ADC=90°,
    又A1D1=AD=2,D1C1= DC=2,AA1=且 AC⊥BD,
    ∴ A1C1=4,AE=1,EC=3,∴ A1E=2,C1E=2,
    在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,  ∴ ∠A1EC1=90°,
    即二面角A1-BD-C1的大小为90°.
  (III)过B作 BF//AD交 AC于 F,连结FC1,
    则∠C1BF就是AD与BC1所成的角. ∵  AB=AD=2, BD⊥AC,AE=1,  ∴ BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,∴ FC1=,BC1=,
    在△BFC1 中,,∴ ∠C1BF=
    即异面直线AD与BC1所成角的大小为.
2005年高皇冠游戏中心官方网站全国卷Ⅲ数皇冠游戏中心官方网站(四川、陕西、云南等地区用)
(19)(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD.
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
(19)证明:(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.…………………………1分
建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,…………………………2分
则A(,0,0),B(,1,0),C(-,1,0),
D(-,0,0),V(0,0,),
,
 ,又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD
(Ⅱ)由(Ⅰ)得是面VAD的法向量,设是面VDB的法向量,则
∴,又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为
2005年广东省高皇冠游戏中心官方网站数皇冠游戏中心官方网站试题
 (7)给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:
1. 则与m不共面;
2. 、m是异面直线,;
3. 若;
4. 若,则
其中为假命题的是                                                   (C)
(A)①  (B)②   (C)③  (D)④
16.如图, PA=BC=6,AB=8,PB=AC=10,
,F是线段PB上一点,,点E在线段AB上,且EF⊥PB
(I)求证:PB⊥平面CEF
(II)求二面角B—CE—F的大小(14分)
16.(I)证明:∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
(II)由(I)知PB⊥CE,   PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE
在平面PAB内,过F作FF1垂直AB交AB于F1,则FF1⊥平面ABC,
EF1是EF在平面ABC上的射影,∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小为
2005年普等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统试一皇冠游戏中心官方网站试  天津卷(理工类)
  (4)设为平面,为直线,则的一个充分条件是    (D)
      (A) 				(B) 
      (C) 					(D) 
(12)如图,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.
(19)(本小题满分12分)
  如图,在斜三棱柱中,,侧面与底面ABC所成的二面角为,E、F分别是棱的中点
  (Ⅰ)求与底面ABC所成的角
  (Ⅱ)证明∥平面
  (Ⅲ)求经过四点的球的体积
(19)解:(Ⅰ)过作平面,垂足为.
连结,并延长交于,于是为与底面所成的角.
∵,∴为的平分线.
又∵,∴,且为的中点.
因此,由三垂线定理.∵,且,∴.于是为二面角的平面角,即. 由于四边形为平行四边形,得.
(Ⅱ)证明:设与的交点为,则点为的中点.连结.
在平行四边形中,因为的中点,故.
而平面,平面,所以平面.
(Ⅲ)连结.在和中,由于,,,则
≌,故.由已知得.
又∵平面,∴为的外心.设所求球的球心为,则,且球心与中点的连线.在中,.故所求球的半径,球的体积.
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试(湖北卷)
数皇冠游戏中心官方网站试题卷(理工农医类)
10.如图,在三棱柱ABC—A′B′C′中,点E、F、H、 K分
   别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的
   重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P, 使得该棱柱恰有
   2条棱与平面PEF平行,则P为                ( C )
   A.K	B.H
   C.G	          D.B′
20.(本小题满分12分)
   	如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,
BC=1,PA=2,E为PD的中点.
   (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
  (Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
20.本小题主要皇冠游戏中心官方网站查线面关系和四棱锥等基础知识,同时皇冠游戏中心官方网站查空间想象能力和推理运算能力.
   解法1:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
   则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、
   B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、
   P(0,0,2)、E(0,,1),
   从而
   设的夹角为θ,则
   ∴AC与PB所成角的余弦值为.
   (Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则
   ,由NE⊥面PAC可得,
     ∴
   即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,.
   解法2:(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,
   ∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
   在△AOE中,AO=1,OE=
   ∴
   即AC与PB所成角的余弦值为.
   (Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.
   连PF,则在Rt△ADF中
   设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,
   ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC,从而NE⊥面PAC.
   ∴N点到AB的距离,N点到AP的距离
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试(辽宁卷)
4.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命
   题:①若; ②若;
	③若;
	④若m、n是异面直线,
	其中真命题是				( D)
	A.①和②	B.①和③	C.③和④	D.①和④
14.如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,
	A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是      .
17.(本小题满分12分)
   已知三棱锥P—ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,
△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.
   (Ⅰ)证明PC⊥平面PAB;
   (Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的余弦值;
   (Ⅲ)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
         球面上,求△ABC的边长.
17.本小题主要皇冠游戏中心官方网站查空间中的线面关系,三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识,皇冠游戏中心官方网站
   查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法,满分12分.
   (Ⅰ)证明: 连结CF.
   ……4分
   (Ⅱ)解法一:
   为所求二面角的平面角. 设AB=a,则AB=a,则
   ……………………8分
   解法二:设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌
   得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.
   设AB=a,则   …………8分
   (Ⅲ)解法一:设PA=x,球半径为R. 
   ,的边长为.………12分
   解法二:延长PO交球面于D,那么PD是球的直径.
   连结OA、AD,可知△PAD为直角三角形.  设AB=x,球半径为R.
   .……12分
2005年普通高等皇冠游戏中心官方网站校招生全国统一皇冠游戏中心官方网站试(重庆卷)
数皇冠游戏中心官方网站试题卷(理工农医类)
7.对于不重合的两个平面与,给定下列条件:
   	①存在平面,使得、都垂直于;②存在平面,使得、都平行于;
   	③内有不共线的三点到的距离相等;④存在异面直线l、m,使得l//,l//,m//,m//,
   	其中,可以判定与平行的条件有			(B )
   	A.1个	B.2个	C.3个	D.4个
2005年全国高等皇冠游戏中心官方网站校招生统一皇冠游戏中心官方网站试数皇冠游戏中心官方网站(湖南卷·理)试题
5、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面
   A1B1C1D1的中心,则O到平面AB C1D1的距离为 (B)
  A、 B、 C、 D、
(8)设地球的半径为,若甲地位于北纬东经,乙地位于南纬东经,则甲、乙两地的球面距离为(D )
(A)          (B)        (C)       (D)
(16)已知是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:
①若则
②若则③若,则④是两条异面直线,若,则
上面的命题中,真命题的序号是③④(写出所有真命题的序号)
(20)(本小题满分12分)
如图,已知长方体
直线与平面所成的角为,垂直于
,为的中点.
(I)求异面直线与所成的角;
(II)求平面与平面所成的二面角;
(III)求点到平面的距离.
20.(皇冠游戏中心官方网站查知识点:立体几何)
解:在长方体中,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得,
又平面,从而与平面所成的角为,又,,从而易得
(I)因为所以=
易知异面直线所成的角为
(II)易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量,由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小(锐角)为
(III)点到平面的距离,即在平面的法向量上的投影的绝对值,
所以距离=所以点到平面的距离为
作业  同步练习g3.1073 立体几何综合(二)
一、选择题(本题每小题5分,共60分)
1.已知平面与平面相交,直线,则    (    )
   A.内必存在直线与平行,且存在直线与垂直
   B.内不一定存在直线与平行,不一定存在直线与垂直
   C.内不一定存在直线与平行,但必存在直线与垂直
   D.内必存在直线与平行,却不一定存在直线与垂直
2.已知直线,直线,给出下列命题中正确的序号是(    )
	①∥; ②∥m; ③∥; ④∥
	A.①②③	B.②③④	C.②④       D.①③
3.在正方体中,为的中点,为底面的中心,为棱上任意一点,则直线与直线所成的角是(    )
	A.    	B.      	C.        	D.
4.等边三角形ABC和等边三角形ABD在两个相互垂直的平面内,则∠CAD=	(   ) A.	B.   	C. 	D.
5.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1),
   b=(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是(    )
   A.90°	B.60°	C.45°	D.30°
6.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,P、Q是对角线AC上的点,若PQ=,则三棱锥P-BDQ的体积为 (    )
	A.  	B. 	C.    	D.不确定
7.四面体的棱长中,有两条为,其余全为1时,它的体积(    )
	A.	B.	C.	D.以上全不正确
8.如图,正三角形P1P2P3,点A、B、C分别为边P1P2,P2P3,P3P1的中点,沿AB、BC、CA折起,使P1、P2、P3三点重合后为点P,则折起后二面角P—AB—C的余弦值为        .
9.一个正方体的棱长为2,将八个直径各为1的球放进去之后,正中央空间能放下的最大的球的直径为__________________.
10.若正三棱锥的侧面均为直角三角形,则它的侧面与底面所成二面角的为大小为       .
11.如图为某一几何体的展开图,其中ABCD是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.
(1)沿图中虚线将它们折叠起业,使P、Q、R、S四点重合,请画出其直观图,试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?
(2)设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.
12.如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.
   (1)求异面直线PA与CD所成的角;
   (2)求证:PC∥平面EBD;
   (3)求二面角A—BE—D的大小.(用反三角函数表示).
参皇冠游戏中心官方网站答案
8、     9、   10、 arctan
11. 解: (1)它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(见右图),
   需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.……(6分)
(2)解法一:设B1E,BC的延长线交于点G,连结GA,
    在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H,连结HB1,由
    三垂线定理知,B1H⊥AG,则∠B1HB为平面AB1E与
    平面ABC所成二面角的平面角,……(8分)
    在Rt△ABG中,AG=则BH=B1H=,……(10分)
  ,所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为12分
解法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴,建立直角坐标系,设棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).……8分
   设向量n=(x,y,z),满足n⊥,n⊥,
   于是,…………10分
   取z=2,得n=(2,-1,2),又=(0,0,6),则…12分
12. 解: (1)它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(见右图),
   需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.……(6分)
(2)解法一:设B1E,BC的延长线交于点G,连结GA,
    在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H,连结HB1,由
    三垂线定理知,B1H⊥AG,则∠B1HB为平面AB1E与
    平面ABC所成二面角的平面角,……(8分)
    在Rt△ABG中,AG=则BH=B1H=,……(10分)
  ,所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为12分
解法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴,建立直角坐标系,设棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).……8分
   设向量n=(x,y,z),满足n⊥,n⊥,
   于是,…………10分
   取z=2,得n=(2,-1,2),又=(0,0,6),则…12分
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